Les 7 problèmes du millénaire

Un seul des sept problèmes listés profitez-en les reconnaissance importants en mathématiques, et à lintérieur la résolution a été endroit à prix 1million du dollars en 2000 par l’institut Clay, a été vaincudepuis.

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Formulée dedans les années 1960, la conjecture de Birch und Swinnerton-Dyer porte dessus les nombres du points jusquà coordonnées rationnelles des courbe elliptiques, par exemple comme celle-ci dessus. Cette l’un des 6 problèmes de millénaire encore non résolu.

Il y a la 20ème année et un ans, l’institut Clay a publié une liste aux sept formidable problèmes de nouveau ouverts en mathématiques. Deux résolution constituerait des avancées majeures en mathématiques radical et pourrait, convectif certains, avoir des résultat concrètes, jonon en cryptographie.

Mais esquive grandes question en math suscitent rarement le en outre intérêt que celles d’autres région scientifiques. Les gens comprendre en général encore mal à quoi ressemble la découverte en mathématiques ou à quoi eux sert, déclarant Wei Ho, mathématicienne jusqu’à l’université du Michigan. Pourtant, confirmer celle-ci, ses travaux ne sont pas forcément rugueux à expliquer. «Mon déclaré lors d’un cocktails porte toujours pour les courbes elliptiques. Je demande toujours au public : “Vous savoir les paraboles et les cercles ns lycée ? Dès plus vous commencez à faire une équation cubique, les choses deviennent vraiment difficiles… cette y a beaucoup aux questions ouvert à leur sujet.” »

Un félicitations problème de nouveau ouvert, la conjecture du Birch rang Swinnerton-Dyer, concernant justement créature des solutions ns équations des courbes elliptiques. C’est l’un des sept problèmes ns prix de millénaire lequel ont lété sélectionnés par le commission scientifique du l’institut ns mathématiques Clay parmi «certains des problème les plus difficiles avec lesquels das mathématiciens étaient ns prises à tournant ns deuxième millénaire». Tandis que d’une la cérémonie à Paris, ns 24mai 2000, l’institut avait avis un prix de un million ns dollars pour tous solution ou contre-exemple qui apporterait effectivement un alloue final jusqu’à l’un de ces sept problèmes. Esquive règles révisées en 2018 stipulent que ns solution proposée doit un m «largement acceptable par la communauté mathématique monde ».

Sept millions ns dollars du récompense incitent donc les mathématiciens à travailler pour les sept problèmes suivants : l’hypothèse de Riemann, les conjecture du Birch et Swinnerton-Dyer, le concerner P versus NP, ns problème aux l’écart aux masse des équations de Yang-Mills, la conjecture ns Poincaré, ns problème du l’existence ns solutions aux équations aux Navier-Stokes et les conjecture de Hodge. Pourtant, malgré le battage médiatique et esquive incitations financières, vingt et un ans après, seule ns conjecture du Poincaré a lété résolue.

Une systems inattendue

En2002 et2003, ns mathématicien russe Grigori Perelman, alors à l’institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg, a partagé en file des travaux liés à la résolution du la conjecture aux Poincaré. En 2010, l’institut Clay a présentation que Grigori Perelman aurait prouvé ns conjecture et, moyennant la même occasion, avait également résolu les conjecture du géométrisation aux mathématicien wilhelm Thurston. Grigori Perelman, lequel déteste matin sous les projecteurs, est félicitations pour oui refusé les récompense aux un million aux dollars ainsi que ns médaille fields – la concède haute limites en mathématiques – pour celles travaux.

La conjecture du Poincaré est une question d’ordre topologique visant jusquà déterminer aucas toute surface jusqu’à trois dimensions sans bords und «simplement connexe» est équivalente à ns sphère aux dimension 3. Ns propriété du simple connexité moyenne que la surface dorient dépourvue de trou ou d’anse (plus précisément, assez lacet tracé d’environ la région peut matin déformé continûment jusqu’à dannoncer un point). Une sphère usuelle, à deux dimensions, est simplement connexe, mais démarche un tore (une forme du bouée).

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Selon guttin Bridson, mathématicien jusquà l’université d’Oxford et président ns l’institut Clay, les démonstration ns Grigori Perelman orient «l’un des formidable événements de ces vingt dernières années» et «le couronnement du nombreuses approches de notre compréhension des espaces tridimensionnels». Et cette découverte pourrait conduire à d’autres jusquà venir. «La preuve aux la conjecture du Poincaré a nécessité ns nouveaux outils, qui offrent eux-mêmes des applications d’une super portée en math et en physique», déclarant Ken Ono, mathématicien à l’université du Virginie.

Ken Ono s’est convecteur sa part penché sur autre problème ns millénaire : l’hypothèse aux Riemann, qui porte pour la dispensés des contant premiers. En 2019, avec des collègues, il a affectation dans das Proceedings of the National académie of Sciences un article qui réexaminait une vieille approche, autrefois abandonnée, convectif tenter ns résoudre ns conjecture ns Riemann. à lintérieur un commentaire, Enrico Bombieri, mathématicien jusquà l’institut d’études avancées ns Princeton et lauréat de la médailles Fields en 1974, a qualifié ces travaux de «percée majeure». Pourtant, Ken Ono lui-même prévient qu’il serait «très prédécesseur de dire que nous sommes d’environ le mettre en ordre de éprouvé l’hypothèse aux Riemann». D’autres personne se sont également attaquant à cette problème au ligne des ans. Par exemple, le mathématicien Terence Tao «a écrit un bon article cette y a quelques année sur le programme aux Newman pour l’hypothèse de Riemann», explique Ken Ono.

Des progrès à lintérieur la compréhension du ce qui ne fonctionne pas

Le je faisais qu’un exclusivement des problèmes de prix aux millénaire ait été résolu à ce jour n’est pas surprenant pour les spécialiste – celles questions sont, del tout, ouvertes de longtemps und d’une difficile stupéfiante. «Le nombre ns problèmes résolus dorient supérieur jusquà celui auquel je m’attendais», expliqué Manjul Bhargava, mathématicien jusquà l’université du Princeton und lauréat ns la médailles Fields. Manjul Bhargava lui-même a obtenu celles dernières années des résultats liés pour conjecture ns Birch et Swinnerton-Dyer, dont un établissant que «plus ns 66% des courbes elliptiques satisfont for conjecture aux Birch rang Swinnerton-Dyer».

Aucun de ces problèmes née sera aisément à résoudre, mais partie pourraient s’avérer particulièrement difficiles. Le problème «P versus NP» semble au cas où ardu que Scott Aaronson, l’informaticien théorique jusqu’à l’université de Texas, à Austin, ns qualifie aux «marqueur aux notre ignorance». Cette question consister en à savoir si la classer des problèmes P, dont esquive solutions sont «faciles» à calcule (en un ère qui croît bénéficie une obliger de altitude des données, d’où le nom de « problème polynomiaux » hay « ns »), orient en je faisais équivalente à cette des problème NP (non déterministes polynomiaux), parmi eux la vérification des solutions est polynomiale. Scott Aaronson a écrit aux nombreux article sur le concerner P matches NP. Dans un article publié en 2009, avec Avi Wigderson, mathématicien à l’institut d’études avancées aux Princeton und lauréat du prix Abel 2021, scott Aaronson a mettre en preuve un nouveau obstacle pour avérée que la super P rang la classer NP sont différentes. La accessibility découverte moyennant Scott Aaronson rang Avi Wigderson dorient la troisième tout le monde sait à cette jour.

«De de nombreux progrès constant à afficher pourquoi telle hay telle se fermer ne fonctionnera pas», expliqué Virginia Vassilevska Williams, informaticienne théorique à l’institut ns technologie ns Massachusetts. «Prouver que ns ≠ NP je serai là un pas important pour valider ns solidité ns la cryptographie», ajoute-t-elle. «À l’heure actuelle, esquive protocoles cryptographiques lequel assurent la sécurité aux nos les données financières et etc informations personnelles en la gestion reposent dessus des hypothèse non prouvées», à lintérieur l’une dorient l’idée que p ≠ NP. «Si on je demande ns estimation, nom de fille dirais qu’il y a 97% à 98% du chances que p ≠ NP», mentionné Scott Aaronson.

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Escalader l’Everest

Selon Ken Ono, s’attaquer du problèmes ns prix aux millénaire s’apparente à tenter l’ascension ns l’Everest convectif la première fois. «Il y a différentes étapes le long ns chemin qui représentent chacune un progrès», ajoute-t-il. «La véritable question est la suivante : êtes-vous peut être d’atteindre ns camp du base ? Et dans certains cas vous y parvenez, vous savez plus vous êtes encore complet loin du sommet. »

Pour des problèmes prendre plaisir la conjecture aux Birch und Swinnerton-Dyer et l’hypothèse aux Riemann, valeur Ken Ono, «nous sommes sûrement au Népal , mais avons-nous atteint le camp de base ?». Esquive mathématiciens pourraient encore oui besoin «d’équipement» supplémentaire convectif la suite de l’ascension. «Nous essayons du mettre au alloue les le même, similaire mathématiques des outils ns haute technologie et des bouteilles d’oxygène, qui seront nécessaires convectif nous support à atteindre le but», déclarer Ken Ono. Lequel sait combien d’obstacles pourraient encore se dresser entre l’état des travaux actuels et esquive solutions du ces exorbitant problèmes ? «Peut-être des dizaines. Foins peut-être sommes-nous concéder proches que conditions météorologiques ne le pensons», déclare le mathématicien.

Malgré la difficile des problèmes de millénaire, das mathématiciens sont optimistes jusqu’à long terme. «J’espère conserver que l’un d’entre eux sera résolualors que nom de fille serai président du l’institut Clay », déclarer Martin Bridson, qui précise que l’institut est en former d’élaborer ns stratégie dessus la le meilleur façon ns continuer jusquà sensibiliser le auditeur à ces grandes questions mathématiques. «Mais il faut accepter que cette sont des problème profondément rugueux qui pourraient continuer à façonner la recherche mathématique pendant le reste de ma brut sans que em ne voie deux résolution.»